問５．『たすき掛け』の数学的正当性を証明せよ。
証明をするために、幾つか前提条件が必要となります。
条件0. 『 X ばらば Y 』 と 『 Y ならば Z 』 が同時に成立している時、『 X ならば Z 』 も成立する。（推移律）
これを認めないと論理学が成立しません。
条件1-0. 任意の数Aに対し、『 A＝A 』 がいつでも成立する。 （等式の反射律）
条件1-1. 任意の数A,Bに対し、『 A＝B 』 が成立していれば 『 B＝A 』 も成立する。 （等式の対称律）
条件1-2. 任意の数A,B,Cに対し、『 A＝B 』 と 『 B＝C 』 が同時に成立している時、『 A＝C 』 も成立する。 （等式の推移律）
これらを認めないと等式が意味を持ちません。
条件2. 任意の数A,Bと任意の非零数Nに対し、『 A÷N＝B 』 が成立していれば 『 N×B＝A 』 も成立する。
条件3. 任意の数A,Bと任意の非零数Nに対し、『 N×B＝A 』 が成立していれば 『 A÷N＝B 』 も成立する。
これらは 割り算の定義 『 A÷N とは N×□＝A を満たす数 □ を表す 』 を意味しています。
条件4. 任意の数A,Bに対し、『 A×B＝B×A 』 である。 （乗法の可換性）
条件5. 任意の数A,B,Cに対し、 『 (A×B)×C＝A×(B×C) 』 である。 （乗法の結合律）
条件6. 任意の数A,Bと任意の非零数Nに対し、 『 (A×B)÷N＝(A÷N)×B 』 である。
これは条件4のもとで （乗除の結合律） 『 (B×A)÷N＝B×(A÷N) 』 と同値
条件7. 任意の数Aに対し、『 0×A＝0 』 である。 （0の性質）
条件8. 任意の非零数Nに対し、『 0÷N＝0 』 である。
これは条件3,4,7 から導ける。
条件9. 任意の非零数N,Mに対し、『 N×M 』 も非零数である。
これは条件3,8 から導ける。
条件10. 任意の非零数N,Mに対し、『 N÷M 』 も非零数である。
これは条件2,4,7 から導ける。
条件11. 任意の数Aと任意の非零数Nに対し、『 A/N＝A÷N 』 である。 （分数の定義）
以上の前提条件を認めた上で以下証明です。
aを任意の数、b,c,dを任意の非零数とし、 Y,Zを
a/b÷c/d＝Y
(a×d)/(b×c)＝Z
を満たす数と仮定する。
このとき、Y＝Z であることを示す。
条件9より、b×c は非零数であり、 条件10,11より c/d は非零数である。
a＝0 の場合、条件7,8,11より Y＝0＝Zであり明らか。
aが非零数 の場合、条件9,10,11より Z も非零数であり、条件10,11より a/b も非零数である。
(a×d)/(b×c)＝Z が成立しているので、条件11より、
(a×d)÷(b×c)＝Z が成立する。
よって、条件2より、
(b×c)×Z＝(a×d) も成立する。
よって、条件5より、
b×(c×Z)＝(a×d) も成立する。
よって、条件3より、
(a×d)÷b＝(c×Z) も成立する。
よって、条件6より、
(a÷b)×d＝(c×Z) も成立する。
よって、条件4より、
d×(a÷b)＝(c×Z) も成立する。
よって、条件3より、
(c×Z)÷d＝(a÷b) も成立する。
よって、条件6より、
(c÷d)×Z＝(a÷b) も成立する。
よって、条件11より、
(c÷d)×Z＝a/b も成立する。
よって、条件4より、
Z×(c÷d)＝a/b も成立する。
よって、条件3より、
a/b÷Z＝(c÷d) も成立する。
よって、条件11より、
a/b÷Z＝c/d も成立する。
よって、条件3より、
Z×c/d＝a/b も成立する。
よって、条件4より、
c/d×Z＝a/b も成立する。
よって、条件3より、
a/b÷c/d＝Z も成立する。
故にY＝Zである。
問題です。
問６．『分母は分母どうし、分子は分子どうし割る』の数学的正当性を証明せよ。
