問６．『分母は分母どうし、分子は分子どうし割る』の数学的正当性を証明せよ。
問５．と同じ前提条件で証明します。
aを任意の数、b,c,dを任意の非零数とし、 Y,Zを
a/b÷c/d＝Y
(a÷c)/(b÷d)＝Z
を満たす数と仮定する。
このとき、Y＝Z であることを示す。
問５より、Y＝(a×d)/(b×c) である。
条件9,10より、 (b÷d) , (b×c) は非零数である。
a＝0 の場合、条件7,8,11より Y＝0＝Zであり明らか。
aが非零数 の場合、条件9,10,11より Z も非零数である。
(a÷c)/(b÷d)＝Z が成立しているので、条件11より
(a÷c)÷(b÷d)＝Z も成立する。
よって、条件2より、
(b÷d)×Z＝(a÷c) も成立する。
よって、条件6より、
(b×Z)÷d＝(a÷c) も成立する。
よって、条件2より、
d×(a÷c)＝(b×Z) も成立する。
よって、条件4より、
(a÷c)×d＝(b×Z) も成立する。
よって、条件6より、
(a×d)÷c＝(b×Z) も成立する。
よって、条件2より、
c×(b×Z)＝(a×d) も成立する。
よって、条件5より、
(c×b)×Z＝(a×d) も成立する。
よって、条件4より、
Z×(c×b)＝(a×d) も成立する。
よって、条件3より、
(a×d)÷Z＝(c×b) も成立する。
よって、条件4より、
(a×d)÷Z＝(b×c) も成立する。
よって、条件2より、
Z×(b×c)＝(a×d) も成立する。
よって、条件4より、
(b×c)×Z＝(a×d) も成立する。
よって、条件3より、
(a×d)÷(b×c)＝Z も成立する。
よって、条件11より、
(a×d)/(b×c)＝Z も成立する。
故にY＝Zである。
以下では割り算の定義 『 A÷N とは N×□＝A を満たす数 □ を表す 』 の妥当性について論ずる。
そのために、自然数の掛け算の定義から順次考察していくことにしましょう。
問題です。
問７． 自然数の掛け算の定義 とは？
